初二下学期的试题

一、选择题(每小题3分，共36分)

1. 在实数范围内，若 有意义，则 的取值范围是( )

A. B.

C. D.

2.(2015湖北孝感中考)已知 ，则代数式 的值 是( )

A. B. C. D.

3. 下列计算正确的是( )

A. B. +

C. D.

4.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )

A.一组对角相等 B.对角线互相平分

C.一组对边相等 D.对角线互相垂直

5.(2015兰州中考)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分?e为E，F，连接EF，则△AEF的面积是( )

A.4 B.3 C. D.

6.直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为( )

A.5 B. C.7 D.

7.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

8.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为( )

A.12 B.7+

C.12或7+ D.以上都不对

9.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′( )

A.小于1 m B.大于1 m C.等于1 m D.小于或等于1 m

第9题图 第10题图

10.如图所示，将一根长为24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是( )

A.h≤17 cm B.h≥8 cm C.15 cm≤h≤16 cm D.7 cm≤h≤16 cm

11. 如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB=2,则C′D的长为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 如图所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )

A.14 B.15 C.16 D.17

二、填空题(每小题3分，共24分)

13. 使 有意义的 的取值范围是 .

14. 当 时， =_____________.

15.(2015江苏泰州中考)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.

第15题图 第16题图

16.如图所示，在△ABC中，AC=6，AB=BC=5，则BC边上的高AD=______.

17.在△ 中，若三边长分别为9，12，15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为__________.

18.已知直角三角形的两直角边长分别为 和 ，则斜边上的高为 .

19.如图所示,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为2 cm,∠A=120°,则EF= cm.

20.如图所示，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB= ，BC= ，则图中阴影部分的面积为 .

三、解答题(共60分)

21.(6分)如图，已知等腰△ 的周长是 ，底边 上的高 的长是4，求这个三角形各边的长.

22.(6分)有一道练习题：对于式子 先化简， 后求值，其中 .小明的解法如下： = = = = .小明的解法对吗?如果不对，请改正.

23.(6分)已知 ， 为实数，且 ，求 的值.

24.(6分)阅读下列解题过程：

已知 为△ 的三边长，且满足 ，试判断△ 的形状.

解：因为 ， ①

所以 . ②

所以 . ③

所以△ 是直角三角形. ④

回答下列问题：

(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误?该步的序号为 .

(2)错误的原因为 .

(3)请你将正确的解答过程写下来.

25.(6分)观察下列勾股数：

根据你发现的规律，解答下列问题：

(1)当 时，求 的值;

(2)当 时，求 的值;

(3)用(2)的结论判断 是否为一组勾股数，并说明理由.

26.(6分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE.

(1)证明:DE∥CB;

(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.

27.(8分)已知：如图所示，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.

(1)求证：△ABM≌△DCM;

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论;

(3)当AD∶AB= 时，四边形MENF是正方形(只写结论， 不需证明).

28.(8分)如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.

29.(8分)(2015甘肃武威中考)如图，平行四边形ABCD中，AB=3 cm，BC=5 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.

(1)求证：四边形CEDF是平行四边形;

(2)①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形;

②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形.

1.C 解析：若 有意义，则 ≥ ，且

2.C 解析：把 代入代数式 ，得

故选C.

3.C 解析： B中的二次根式的被开方数不同，不能合并;C项正确;D项

4.B 解析：利用平行四边形的判定定理知B正确.

5.B 解析：如图，连接AC，BD，则△ABC与△ADC都是等边三角形.

∵ AE⊥BC，AF⊥DC，∴ BE=CE,CF=DF,

∴ ，

∵ E，F分别为BC，CD的中点，∴ EF为△CBD的中位线.

易求S△CEF

第5题答图

.

∵ AB=4，BE=2，∴ AE= ，

则 ,∴ = .

6.A 解析：设直角三角形的两条直角边长分别为 斜边长为 ，

则 ，所以 ，

所以

7.D 解析：判断一个三角形是不是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余;②较短两边长的平方和等于第三边长的平方;③一边的中线等于这条边的一半.由A得有一个角是直角;B，C满足勾股定理的逆定理.故选D.

8.C 解析：因为直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或 ，所以直角三角形的周长为3+4+5=12或3+4+ =7+ ，故选C.

9.A 解析：移动前后梯子的长度不变，即Rt△ AOB和Rt△ A′OB′的斜边长相等.

由勾股定理，得32+B′O 2=22+72，即B′O= m，

则6 m

10.D 解析：筷子在杯中的最大长度为 =17(cm)，最短长度为8 cm，则筷子露在杯子外面的'长度满足(24-17)cm≤h≤(24-8)cm，即7 cm≤h≤16 cm，故选D.

11.B 解析:因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=2.由于沿BD折叠后点C与点C′重合，所以C′D=CD=2.

12.C 解析:根据菱形的性质得到AB=BC=4，由∠B=60°得到△ABC是等边三角形，所以AC=4.故以AC为边长的正方形ACEF的周长为16.

13. 解析：由4x-1≥0，得 .

14. 解析：当 时，

15.4.8 解析：如图所示：

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ ∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8.

根据题意得△ABP≌△EBP，

∴ EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8.

在△ODP和△OEG中，

∴ △ODP≌△OEG，

∴ OP=OG，PD=GE，∴ DG=EP.

设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，

∴ CG=8-x，BG=8-(6-x)=2+x.

根据勾股定理，得BC2+CG2=BG2，即62+(8-x)2=(x+2)2，

解得x=4.8.∴ AP=4.8.

16.4.8 解析：设DC=x，则BD=5-x.

在Rt△ABD中，AD2=52-(5-x)2，在Rt△ADC中，AD2=62-x2，

∴ 52-(5-x)2=62-x2，解得x=3.6.故AD= =4.8.

17.108 解析：因为 ，

所以△ 是直角三角形，且两条直角边长分别为9，12，

则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 .

18. 解析:由勾股定理，得斜边长为 ，

根据三角形面积公式，得 ，解得 .

19. 解析:本题综合考查了菱形的性质、勾股定理和三角形中位线的性质.

连接BD，AC.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD.

∵ ∠BAD=120°，∴ ∠BAC=60°，∴ ∠ABO=90°-60°=30°.

∵ ∠AOB=90°，∴ AO= AB= ×2=1(cm).

由勾股定理得BO= cm，∴ DO= cm.

∵ 点A沿EF折叠与点O重合，∴ EF⊥AC，EF平分AO.

∵ AC⊥BD，∴ EF∥BD，∴ EF为△ABD的中位线，

∴ EF= BD= ×( + )= (cm).

20. 解析:在Rt△ADE中，M为DE的中点，

故S△AEM=S△ADM,所以S△AEM= S△AED，

同理S△BNC= S△BFC，S□DMNF= S□BEDF，

所以S阴影= S矩形ABCD= ABBC= × .

21.解：设 ，由等腰三角形的性质，知 .

由勾股定理，得 ，即 ，解得 ，

所以 .

22.解：小明的解法不对.改正如下：

由题意，得 ，∴ 应有 .

∴ = = = = .

23.解：由题意，得 ，且 ，

∴ ，∴ .

∴ .

24.(1)③

(2)忽略了 的可能

(3)解：因为 ，

所以 .

所以 或 .故 或 .

所以△ 是等腰三角形或直角三角形.

25.解：(1)观察给出的勾股数中，最大数与较大数的差是 ，即 .

因为 ，所以 ，

所以 ，所以 .

(2)由(1)知 .

因为 ，所以 ，

即 ，所以 .

又 ，所以 ，

所以 .

(3)由(2)知， 为一组勾股数，

当 时， ，

但 ，所以 不是一组勾股数.

26.分析:(1)根据∠BCD=90°+60°=150°,因此只要证明∠EDC=30°即可.根据已知条件及图形的位置关系，连接CE,通过证明△ADE≌△CDE，得到∠EDC=30°，所以∠EDC+∠DCB=180°，从而证得DE∥CB.

(2)此题可通过假设四边形DCBE是平行四边形，求出AC与AB的数量关系.

(1)证明:如图所示，连接CE,

∵ E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

∴ CE= AB=AE.

∵ △ACD是等边三角形，∴ AD=CD.

在△ADE和△CDE中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,

∴ △ADE≌△CDE(SSS).∴ ∠ADE=∠CDE=30°.

∵ ∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°,

∴ ∠EDC+∠DCB=180°,∴ DE∥CB.

(2)解:∵ ∠DCB=150°,

若四边形DCBE是平行四边形，

则DC∥BE,∠DCB+∠B=180°,∴ ∠B=30°.

在Rt△ACB中，AC= AB或AB=2AC.

∴ 当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形.

点拨:(1)利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半进行转化,说明线段相等是证明两个三角形全等的关键;(2)对于条件探索性问题常通过逆向思维的方式得到解决.

27.分析:本题考查了矩形的性质以及菱形和正方形的判定.(1)用SAS证明△ABM和△DCM全等.(2)先证四边形MENF是平行四边形，再证它的一组邻边ME和MF相等. (3)由(2)得四边形MENF是菱形，当它是正方形时，只需使∠BMC是直角，则有∠AMB+∠CMD=90°.又∵ ∠AMB=∠CMD,∴ △AMB和△CMD都是等腰直角三 角形.

(1)证明:∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ ∠A=∠D=90°，AB=DC.

又∵ MA=MD，∴ △ABM≌△DCM(SAS).

(2)解:四边形MENF是菱形.

理由：∵ CF=FM,CN=NB，∴ FN∥MB.

同理可得：EN∥MC，

∴ 四边形MENF是平行四边形.

∵ △ABM≌△DCM，∴ MB=MC.

又∵ ME= MB,MF= MC,∴ ME=MF.

∴ 平行四边形MENF是菱形.

(3)解:2∶1.

28.分析:根据菱形的性质可得点O是BD的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OH=OB，从而有△OHB是等腰三角形，所以∠OHB=∠OBH=∠ODC.由等角的余角相等即可证出∠DHO=∠DCO.

证明:∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ OD=OB,∠COD=90°,∠ODC=∠OBH.

∵ DH⊥AB于点H，∴ ∠DHB=90°.

∴ HO= BD=OB,∴ ∠OHB=∠OBH.

∴ ∠OHB=∠ODC.

在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°.

在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°.

∴ ∠DHO=∠DCO.

点拨:本题综合考查了菱形的性质、直角三角形的性质及等腰三角形的性质.菱形的对角线互相垂直平分为充分利用直角三角形的性质创造了条件.

29.(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ CF∥ED，∴ ∠FCG=∠EDG.

∵ G是CD的中点，∴CG=DG.

在△FCG和△EDG中，

∴ △FCG≌△EDG(ASA),

∴ FG=EG.

∵ CG=DG，∴ 四边形CEDF是平行四边形;

(2)①解：当AE=3.5 cm时，平行四边形CEDF是矩形.

理由是：过A作AM⊥BC于M，

∵∠B=60°，AB=3，

∴BM=1.5 cm.

∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ ∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3 cm，BC=AD=5 cm.

∵ AE=3.5 cm，∴ DE=1.5 cm =BM.

在△MBA和△EDC中，

∴ △MBA≌△EDC(SAS)，

∴ ∠CED=∠AMB=90°.

∵ 四边形CEDF是平行四边形，

∴ 四边形CEDF是矩形.

②当AE=2 cm时，四边形CEDF是菱形.

理由是：∵ AD=5 cm，AE=2 cm，∴ DE=3 cm.

∵ CD=3，∠CDE=60°，

∴ △CDE是等边三角形，∴ CE=DE.

∵ 四边形CEDF是平行四边形，

∴ 四边形CEDF是菱形.