高中数学竞赛的标准教材

第四章 几个初等函数的性质

一、基础知识

1．指数函数及其性质：形如=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，=ax是减函数，当a>1时，=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂： 。

3．对数函数及其性质：形如=lgax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，=lgax为减函数，当a>1时，=lgax为增函数。

4．对数的性质（M>0, N>0）；

1）ax=M x=lg&nt;aM(a>0, a 1)；

2）lg&nt;a&nt;(MN)= lg&nt;a M+ lg&nt;a N；

3）lg&nt;a（ ）= lg&nt;a M- lg&nt;a N；4）lg&nt;a Mn=n lg&nt;a M；，

5）lg&nt;a = lg&nt;a M；6）alg&nt;a M=M; 7) lg&nt;a b= (a,b,c>0, a, c 1).

5. 函数=x+ （a>0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为 和 。（请读者自己用定义证明）

6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。

二、方法与例题

1．构造函数解题。

例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）.

因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，

所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（ ）（ ）≥( )2，等号当且仅当存在 R，使a&nt;i= , i=1, 2, …, n时成立。

【证明】 令f(x)= （ ）x2-2( )x+ = ,

因为 >0，且对任意x∈R, f(x)≥0，

所以△=4( )-4（ ）( )≤0.

展开得（ ）( )≥( )2。

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在 ，使a&nt;i= , i=1, 2, …, n。

例3 设x, ∈R+, x+=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u= 的.最小值。

【解】u= =x+ ≥x+ +2

=x+ +2.

令x=t，则0<t=x≤ ,设f(t)=t+ ,0<t≤

因为0<c≤2，所以0< ≤1，所以f(t)在 上单调递减。

所以f(t)in=f( )= + ，所以u≥ + +2.

当x== 时，等号成立. 所以u的最小值为 + +2.

2．指数和对数的运算技巧。

例4 设p, q∈R+且满足lg9p= lg12q= lg16(p+q)，求 的值。

【解】 令lg9p= lg12q= lg16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，

所以9 t +12 t =16 t，即1+

记x= ，则1+x=x2，解得

又 >0，所以 =

例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, , z,