数学高考试题及答案

一、选择题

1 .(2013年高考重庆卷(文))某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

()

A. B. C. D.

【答案】D

2 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ,画该四面体三视图中的正视图时,以 平面为投影面,则得到正视图可以为

( )

A. B. C. D.

【答案】A

3 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))某几何函数的三视图如图所示,

则该几何的体积为()

A. B. C. D.

【答案】A

4 .(2013年高考大纲卷(文))已知正四棱锥

的正弦值等于()

A. B. C. D.

【答案】A

5 .(2013年高考四川卷(文))一个几何体的三视图如图所示,

则该几何体可以是()

A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台

【答案】D

6 .(2013年高考浙江卷(文))已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,

则该几何体的体积是()

A.108cm3 B.100 cm3 C.92cm3 D.84cm3

【答案】B

7 .(2013年高考北京卷(文))如图,在正方体 中, 为

对角线 的三等分点,则 到各顶点的距离的不同取值有 ()

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

【答案】B

8 .(2013年高考广东卷(文))某三棱锥的三视图如图 2所示,则该三棱锥

的体积是()

A. B. C. D.

【答案】B

9 .(2013年高考湖南(文))已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1

的正方形,侧视图是一个面积为 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于()

A. B.1 C. D.

【答案】D

10.(2013年高考浙江卷(文))设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, ()

A.若m‖α,n‖α,则m‖n B.若m‖α,m‖β,则α‖β

C.若m‖n,m⊥α,则n⊥α D.若m‖α,α⊥β,则m⊥β

【答案】C

11.(2013年高考辽宁卷(文))已知三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上,若 , , ,则球 的半径为 ()

A. B. C. D.

【答案】C

12.(2013年高考广东卷(文))设 为直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ()

A.若 , ,则 B.若 , ,则

C.若 , ,则 D.若 , ,则

【答案】B

13.(2013年高考山东卷(文 ))一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)

视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是()

A. B. C. D.8,8

【答案】B

14.(2013年高考江西卷(文))一几何体的三视图如右所示,则该几何体

的体积为 ()

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π

【答案】A

二、填空题

15.(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ,底面

边长为 ,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.

【答案】

16.(2013年高考湖北卷(文))我国古代数学 名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)

【答案】3

17.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知 是球 的直径 上一点, , 平面 , 为垂足, 截球 所得截面的面积为 ,则球 的表面积为_______.

【答案】 ;

18.(2013年高考北京卷(文))某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

【答案】3

19.(2013年高考陕西卷(文))某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.

【答案】

20.(2013年高考大纲卷(文))已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半径, 则球 的表面积等于______.

【答案】

21.(2013年上海高考数学试题(文科))已知圆柱 的.母线长为 ,底面半径为 , 是上地面圆心, 、 是下底面圆周上两个不同的点, 是母线,如图.若 直线 与 所成角的大小为 ,则 ________.

【答案】

22.(2013年高考天津卷(文))已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为 ______.

【答案】

23.(2013年高考辽宁卷(文))某几何体的三视图如图所示,则该

几何体的体积是____________.

【答案】

24.(2013年高考江西卷(文))如图,正方体的底面与正四面体的底面在同

一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

【答案】4

25.(2013年高考安徽(文))如图,正方体

的棱长为1, 为 的中点,

为 线段 上的动点,过点 的平

面截该正方体所得的截面记为 ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).

① 当 时, 为四边形;②当 时, 为等腰梯形;

③当 时, 与 的交点 满足 ;

④当 时, 为六边形;⑤当 时, 的面积为 .

【答案】①②③⑤

三、解答题

26.(2013年高考辽宁卷(文))如图,

(I)求证:

(II)设

【答案】

27.(2013年高考浙江卷(文))如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.

(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;

(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;

(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.

【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等于30°,且 ,所以;、 ,又因为 ;

(Ⅱ)设 ,由(1)知 ,连接 ,所以 与面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 与面 所成的角的正切值是 ;

(Ⅲ)由已知得到: ,因为 ,在 中, ,设

28.(2013年高考陕西卷(文))如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

【答案】解: (Ⅰ) 设 .

.(证毕)

(Ⅱ) .

在正方形AB CD中,AO = 1 .

所以, .

29.(2013年高考福建卷(文))如图,在四棱锥 中, , , ,

(1)当正视图方向与向量 的方向相同时,画出四棱锥 的正视图.

(要求标出尺寸,并画出演算过程);

(2)若 为 的中点,求证: ;

(3)求三棱锥 的体积.

【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,过点 作 ,垂足为 , 由已知得,四边形 为矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:

,从而 ,又由 平面 得,

从而在 中,由 , ,得

正视图如右图所示:

(Ⅱ)取 中点 ,连结 , ,在 中, 是 中点,

∴ , ,又 ,

∴ , , ∴四边形 为平行四边形,∴

又 平面 , 平面 , ∴ 平面

(Ⅲ) ,

又 , ,所以

解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)取 的中点 ,连结 ,

在梯形 中, ,且 ,∴四边形 为平行四边形

∴ ,又 平面 , 平面

∴ 平面 ,又在 中,

平面 , 平面

∴ 平面 .又 ,

∴平面 平面 ,又 平面

∴ 平面

(Ⅲ)同解法一

30.(2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形 中, 分别是 边上的点, , 是 的中点, 与 交于点 ,将 沿 折起,得到如图5所示的三棱锥 ,其中 .

(1) 证明: //平面 ;

(2) 证明: 平面 ;

(3) 当 时,求三棱锥 的体积 .

【答案】(1)在等边三角形 中,

,在折叠后的三棱锥 中

也成立, , 平面 ,

平面 , 平面 ;

(2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 ①,

.

在三棱锥 中, , ②

;

(3)由(1)可知 ,结合(2)可得 .

31.(2013年高考湖南(文))如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.

(I) 证明:AD⊥C1E;

(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.

【答案】解: (Ⅰ) .

(证毕)

(Ⅱ) .

32.(2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥 中, , , ,平面 底面 , , 和 分别是 和 的中点,求证:

(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面

【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD

所以PA垂直底面ABCD.

(II)因为AB‖CD,CD=2AB,E为CD的中点

所以AB‖DE,且AB=DE

所以ABED为平行四边形,

所以BE‖AD,又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD

所以BE‖平面PAD.

(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形

所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,

所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD

所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点

所以PD‖EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.

33.(2013年高考课标Ⅰ卷(文))如图,三棱柱 中, ,

(Ⅰ)证明: ;

(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的体积.