高考数学北师大出版

《高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 11.1 随机抽样》

11.1 随机抽样

1． 抽样调查

(1)抽样调查

通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．

(2)总体和样本

调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．

(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点： ①迅速、及时；

②节约人力、物力、财力．

2． 简单随机抽样

(1)(2)3． 分层抽样

(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样． (2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

4． 系统抽样

系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔抽取其他样本．这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．

( √ ) ( × ) ( √ )

(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．

(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．

(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．

( × ) ( × )

(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．

2． 在某班的50名学生中，依次抽取学号为5、10、15、20、25、30、35、40、45、50的

10名学生进行作业检查，这种抽样方法是 A．随机抽样 C．系统抽样 答案 C

3． 将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，?，999，从中抽取一个容量为

50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，?，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为 A．700 C．695 答案 C

解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，

N1 000分段间隔数k＝＝20，则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×20＝695.

n504． 大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子

中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________________． 答案 简单随机抽样

解析 因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为适合．

5． 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动

员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________． 答案 12

解析 样本的抽取比例为

211

48＋364

B．669 D．676

( )

B．分层抽样 D．以上都不是

( )

1

所以应抽取男运动员48＝12(人)．

4

题型一 简单随机抽样

例1 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？

(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．

(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． (3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．

(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．

思维启迪 判断一个抽样是否为简单随机抽样，要判断是否符合简单随机抽样的特征．

解

(1)不是简单随机抽样．因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的．

(2)不是简单随机抽样．因为它是放回抽样．

(3)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．

(4)不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．

思维升华 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．

(2013·江西)总体由编号为01,02，?，19,20的20个个体组成，利用下面的

随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

答案 D

解析 从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01. 题型二 分层抽样

例2 (2013·湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，

60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于 A．9

B．10

C．12

D．13

( )

( )

思维启迪 分层抽样，抽样比是一个定值． 答案 D

3n

解析 ，∴n＝13.

60120＋80＋60

思维升华 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N

.

某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随高考数学北师大。

机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

A.24 答案 C

解析 依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应2

在三年级抽取的学生人数为64×＝16.

8题型三 系统抽样

例3 将参加夏令营的600名学生编号为001,002，?，600.采用系统抽样方法抽取一个容量

为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从0

高考数学北师大第三篇:《高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 9.3 圆的方程》

9.3 圆的方程

1． 圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2． 3． 圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中为圆心，为半径． 4． 圆的一般方程

DE

－，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为?2?2D＋E－4F

半径r.

25． 确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)点在圆外：－a)2＋(y－b)22； (3)点在圆内：－a)2＋(y

－b)

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．

( √ )

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

( √ )

a1

(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为(－，－a)，半径为－3a－4a＋4

22的圆．

( × )

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.

( √ ) ( )

2． 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是

A．－1

B．0

C．a>1或a<－1 答案 A

解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1

3． (2012·辽宁)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是高考数学北师大。

A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 答案 C

解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.高考数学北师大。

4． 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．

答案 (x－2)2＋y2＝10

解析 设圆心坐标为(a,0)?a－5?＋?－1??a－1?＋?－3?，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

5． 若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的.

倾斜角α＝________. 3

答案 π

4

1

解析 rk＋4－4k≤1，当有最大半径时有最大面积，此时k＝0，r＝1，∴直线方

23π

程为y＝－x＋2，设倾斜角为α，则由tan α＝－1且α∈[0，π)得α

＝4

( )

题型一 求圆的方程

例1 根据下列条件，求圆的方程：

(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)． 思维启迪 (1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．

(2)求圆心和半径，确定圆的标准方程． 解 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P、Q两点的坐标分别代入得

?2D－4E－F＝20，????3D－E＋F＝－10.

①②

③

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. 设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，

④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为

x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.

4x0－2(2)方法一 如图，设圆心(x0，－4x0)1，

3－x0∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝22， 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

方法二 设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，

???3－x?＋?－2－y?＝r，

根据已知条件得?

|x＋y－1|??＝r，

02

02

2

y0＝－4x0，

?x0＝1，

?

解得?y0＝－

4，

??r＝2.

因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

思维升华 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：

①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．

与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为27

的圆的方程为__________________________________________．

答案 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 解析 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， |a－b|

则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，

2|a－b|2

∴r2＝＋(7)2，即2r2＝(a－b)2＋14.

2∵所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.

① ② ③

又∵所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0.

联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. 题型二 与圆有关的最值问题