复数知识点复习总结

篇一：复数总结

复 数

一．本章知识结构

二．学习内容和要求

（一）学习目标

1．了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表；

2．理解复数的有关概念；

3．掌握复数的代数形式；

4．掌握复数的代数形式的运算法则；

5．能进行复数的加、减、乘、除运算；

6．掌握某些特殊复数的运算特征

7．能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。

（二）本章知识精要

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

整 数??有 理 数?实数(b?0)???分 数??复 数a?bi(a,b?R)?小数)?无理数(无限不循环

虚 数(b?0)?纯 虚 数(a?0)???非 纯 虚 数(a?0) ?

3．复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

n① i(n为整数)的周期性运算； ② (1±i)2=±2i；

1③ 若ω=－2+2i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

4．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则?a?bi，z?为实数，z?为纯虚数(b≠0).

2z??|z|（2）复数z=a+bi的模，

且=a2+b2.

三．学习方法与指导

（一）学习方法点拨：

1．数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。

要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系。理解复数在其中所起到的.重要作用，和各种数集之间的包含关系。

2．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

3．根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等

?a?c?a?0???b?d?规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0??b?0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。

4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。

如(a+bi)(a－bi)=a2－(bi)2=a2－b2i2=a2+b2.

6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i??c?di(c?di)(c?di)c2?d2.

7．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

（二）典型例题讲解

1．复数的概念

例1．实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？

解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，

∴ （1）m=1时，z是实数； （2）m≠1时，z是虚数；

?m?1?0?（3）当?m?1?0时，即m=－1时，z是纯虚数；

?m?1?0?（4）当?m?1?0时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限。

例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y.

?2x?1?y5?解：根据复数相等的意义，得方程组?1??(3?y)，得x=2, y=4.

例3．已知x与y实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2－3xyi=4－6i，求x, y. 解：由题意设x=a+bi，y=a－bi (a, b∈R)，则代入原式得

?4a2?4?a??1?a??1?a?1?a?1?????22b?1?3(a?b)??6b?1b??1??(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi??，或?或?或?b??1，

?x?1?i?x?1?i?x??1?i?x??1?i????y?1?iy?1?iy??1?i∴ ?或?或?或?y??1?i.

2m2?3m?2

2m?25+(m2+3m－10)i；例4．当m为何实数时，复数z＝（1）是实数；（2）

是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

?m2?3m?10?0?2m?25?0， ? （1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即

解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

?m2?3m?10?0?2m?25?0， （2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即?

?2m2?3m?2?0?2?m?3m?10?0?m2?25?0?解得m≠2且m≠±5. 当m≠2且m≠±5时，z为虚数．，

11

解得m=－2, ∴当m=－2时，z为纯虚数．

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．

例5．计算：i＋i2＋i3+……+i2005.

解：此题主要考查in的周期性．

i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005

=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i

＝0＋0＋……＋0+i＝i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in的周期及合理分组．

例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .

解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小，

?m2?10?|m|?10?2??m?3m?0?m?0或m?3?2?m?3或m?1m?4m?3?0?∴，解得?，∴ m=3.

当m＝3时，原不等式成立．

诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

x?y2?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z． 例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3??x?y2?ilogx?8?(1?logy)ilogx?1?logy22?22∵ ，∴，∴?xy?2，

?x?2?x?1??y?1?解得或?y?2, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．

诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

例10．已知x为纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值． 解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法．

设x＝ti (t∈R，且t≠0），则2x－1＋i＝y－(3－y)i可化为

2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，

?2t?1??(3?y)55??1?y∴?, ∴y=－1, t=－2, ∴ x=－2i.

2．复数的四则运算

（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99

=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)

=25(－2－2i)=－50－50i.

4

例2．已知复数z满足|z－2|=2，z+z∈R，求z.

解：设z=x+yi, x, y∈R，则 44(x?yi)4x4y4?x?yi?2?x??(y?)i22222x?yx?yx?y， z+z=z+4y4y?22∵ z+z∈R，∴ x?y=0， 又|z－2|=2, ∴ (x－2)2+y2=4,

联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，

??x?1??y?±3, 当y≠0时

, ?

∴ 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1－3i.

例3．设z为虚数，求证：z+z为实数的充要条件是|z|=1.

证明：设z=a+bi (a, b∈R，b≠0)，于是 11a?biab?a?bi?2?(a?)?(b?)i22222a?ba?ba?b, z+z=(a+bi)+a?bi1b

22所以b≠0, (z+z)∈R?b－a?b=0?a2+b2=1?|z|=1.z?1

例4．复数z满足(z+1)(+1)=||2，且z?1为纯虚数，求z.

篇二：复数知识点总结

复数

一、复数的概念

1. 虚数单位i

（1） 它的平方等于?1，即 i??1；

（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3） i的乘方： i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,n?N*，它们不超出bi的形式． 2

2. 复数的定义

形如a?bi(a,b?R)的数叫做复数， a,b分别叫做复数的实部与虚部

3. 复数相等 a?bi?c?di，即a?c,b?d，那么这两个复数相等

4. 共轭复数 i时，z?a?bi． z?a?b

性质：z?z；z1?z2?z1?z2；z1?z2?z1?z1； (z1z2)?z1z2(z2?0);

二、复平面及复数的坐标表示

1. 复平面

在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z?a?bi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2. 复数的坐标表示 点Z(a,b)

????3. 复数的向量表示 向量OZ．

4. 复数的模

????在复平面内，复数z?a?bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作z

．由定义知，z?．

三、复数的运算

1. 加法 几何意义： 设z1?a?bi对应向量OZ1?(a,b)，z2?c?di对应向量OZ2?(c,d)，则

??????????因此复数的和可以在复平面上用平行四边z1?z2对应的向量为OZ1?OZ2?(a?c,b?d)．

形法则解释．

2. 减法 (a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i．

几何意义： 设z1?a?bi对应向量OZ1?(a,b)，z2?c?di对应向量OZ2?(c,d)，则

z1?z2对应的向量为OZ1?OZ2?Z2Z1?(a?c,b?d)．

z1?z2?(a?c)?(b?d)i?Z1、Z2两点之间的距离，也?????等于向量Z1Z2的模．

3. 乘法 ?a?bi???c?di???a?c???b?d?i.

4. 乘方 zm?zn?z?m n (zm)n?zmn (z1?z2)n?zn1?zn 2

5. 除法 ?a?bi???c?di??

6. 复数运算的常用结论

（1） (a?bi)?a?b?2abi， (a?bi)(a?bi)?a?b

（2） (1?i)?2i， (1?i)??2i

（3）2222222a?bi?a?bi??c?di??ac?bd???bc?ad?i??. 22c?dic?dic?dic?d1?i1?i?i， ??i 1?i1?i

（4） z1?z2?z1?z2， z1?z2?z1?z2， ?

（5） z?z?z， z?z

（6）z1?z2?z1?z2?z1?z2 2?z1?z1??，z?z． ?z2?z2

（7）z1?z2?z1?z2，z1?z2?z1?z2，z?z nn

四、复数的平方根与立方根

1. 平方根 若(a?bi)2?c?di，则a?bi是c?di的一个平方根，?(a?bi)也是c?di的平方根． （1的平方根是?i．）

2. 立方根 如果复数z1、z2满足z13?z2，则称z1是z2的立方根．

（1） 1的立方根： 1,??,2．

五、复数方程

1. 常见图形的复数方程

（1） 圆：z?z0?r（r?0，z0为常数），表示以z0对应的点Z0为圆心，r为半径的圆

（2） 线段Z1Z2的中垂线：z?z1?z?z2（其中z1,z2分别对应点Z1,Z2）

（3） 椭圆： z?z1?z?z2?2a（其中a?0且z1?z2?2a），表示以z1,z2对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆

（4） 双曲线： z?z1?z?z2?2a（其中a?0且z1?z2?2a），表示以z1,z2对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a的双曲线

2. 实系数方程在复数范围内求根

篇三：复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结

1.虚数单位i:

它的平方等于-1，即 i2??1

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n4.复数的定义：形如a?bi(a,b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数C复数通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a?bi(a,b?R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚 （1

（2（3）原点对应的有序实数对为(0，0)

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，

8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

10.复数z1与z2的乘法运算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 11.复数z1与z2的除法运算律：z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?2i（分母实数化） 222c?dc?d

12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互0通常记复数z的共轭复数为z。例如z=3＋5i与z=3－5i互为共轭复数

13. 共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身

（2）Z??Z2? 2

（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论

22 复数 Z ? a ? bi ? a , R （2）?1?i???2i ? （1）?1?i??2i，b ?

一一对应 （3）

一一对应 点Z(a,b) 向量OZ 11?i??i， （4） ?i i1?i

16.复数的模： （5）

复数Z?a?bi的模Z?1?i??i 1?ia2?b2 （6）?a?bi??a?bi??a2?b2

《复数》

1. 设复数z?a?bi(a,b?R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是____________。

a2?7a?62?(a?5a?6)i(a?R)，那么当a=_______时，z是实数； 2. 已知复数z?2a?1当a?__________________时，z是虚数；当a=___________时，z是纯虚数。

3. 已知x2?y2?6?(x?y?2)i?0，则实数x?__________,y?___________.

4. 若复数a满足a?1?2ai??4?4i,则复数a=___________。

5. 已知a?R，则复数z?(a?2a?2)?(6a?a?10)i必位于复平面的第_____象限。

6. 复数z?i?i在复平面对应的点在第_______象限。

7. 设i是虚数单位，计算i?i?i?i?________. 234

17. 已知复数w满足w?4?(3?2w)i(i为虚数单位），z?5w?|w?2|，求z