七年级数学下册《因式分解》知识点总结

第三章 因式分解

1。因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式几个整式的积 例：axbx

13131

x（ab） 3

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2。因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数——取各项系数的最大公约数

字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、—8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c，a3b2c3，a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc。

②提公因式的步骤 第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把12ab18ab24ab分解因式。

解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

解：12ab18ab24ab

6ab（2a3b4a2b2）

例2：把多项式3（x4）x（4x）分解因式

解析：由于4x（x4），多项式3（x4）x（4x）可以变形为3（x4）x（x4），我们可以发现多项

式各项都含有公因式（x4），所以我们可以提取公因式（x4）后，再将多项式写成积的形式。 解：3（x4）x（4x） =3（x4）x（x4） =（3x）（x4）

例3：把多项式x22x分解因式

解：x22x=（x22x）x（x2） （2）运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a。逆用平方差公式：a2b2（ab）（ab）

b。逆用完全平方公式：a22abb2（ab）2

c。逆用立方和公式：ab（ab）（aabb（拓展））

d。逆用立方差公式：a3b3（ab）（a2abb2（拓展））

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

解：a14a49=（a7）2

例2：因式分解a2a（bc）（bc） 解：a2a（bc）（bc）=（abc） （3）分组分解法（拓展）

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式abab1分解因式

解：abab1=（aba）（b1）=a（b1）（b1）（a1）（b1） ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解。

例：将多项式a2ab1b因式分解

解：a2ab1b

=（a2abb）1（ab）1（ab1）（ab1）

2x （4）十字相乘法（形如（pq）xpq（xp）（xq）形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数

x2（pq）xpq

x2（pq）xpq（xp）（xq）

例：分解因式x2x30 分解因式x252x100 补充点详解 补充点详解

我们可以将—30分解成p×q的'形式， 我们可以将100分解成p×q的形式， 使p+q=—1， p×q=—30，我们就有p=—6， 使p+q=52， p×q=100，我们就有p=2， q=5或q=—6，p=5。 q=50或q=2，p=50。

所以将多项式x2（pq）xpq可以分 所以将多项式x2（pq）xpq可以分 解为（xp）（xq） 解为（xp）（xq）

x

x5

x2

—6

x50

x2x30（x6）（x5）

3。因式分解的一般步骤：

x252x100（x50）（x2）

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明

确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

一、 例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。 确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。 【例 1】 分解因式：

⑴15aab

2n1

10abba（n为正整数）

2n

⑵4a2n1b6an2b1（、n为大于1的自然数）

【巩固】 分解因式： （x）2n1（xz）（x）2n2（x）2n（z），n为正整数。

【例 2】 先化简再求值，xxxx2，其中x2，2

求代数式的值：（3x2）2（2x1）（3x2）（2x1）2x（2x1）（23x），其中x。

3

1． 2

22221

【例 3】 已知：bca2，求a（abc）b（cab）c（2b2c2a）的值。

33333

公式法

平方差公式：a2b2（ab）（ab）

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积。 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 ①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

分解因式：x3（xz）（za）x2z（zx）x2（zx）（xza）。

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定。 一些需要了解的公式：

a3b3（ab）（a2abb2） a3b3（ab）（a2abb2） （ab）3a33a2b3ab2b3 （ab）3a33a2b3ab2b3