四元消法的发展历史

天元术出现后不久又出现了天元、地元两个未知数，又出现了天元、地元、人元3个未知数，最后推到天元、地元、人元、物元“四元术”，即用天、地、人、物作未知数表列的四元高次方程组。祖颐在为朱世杰的《四元玉鉴》所作的后序中，在叙述由天元发展到四元的过程时说：“平阳李德载因撰两仪群英集臻兼有地元，霍山邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰乾坤括囊末仅有人元二问，吾友燕山朱汉卿（世杰）先生演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物，立成四元。”李德载、刘大鉴的著作已无传本，关于四元术内容的记载目前主要见朱世杰的《四元玉鉴》。朱氏《四元玉鉴》对高次方程组有固定的记法。

四元术的.解题用四元消法，即把四元消去一元变成三元三式，再消去一元变成二元二式，再消去一元就得到一个只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求正根，并用分数表示正有理根或无理根的近似值。以朱世杰的《四元玉鉴》为例，其二元多行式的消法是采用“互隐通分相消”，及所谓“左右进退”、“横冲直撞”等方法，即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方程。三元式和四元式的消法又采用“剔而消之”法，使该方程式最后亦变为一个一元的高次方程。

运用四元消法可解决求解任意四元高次方程组的问题，使之化为一元进而解决之。在欧洲，高次方程组的消去法问题，只有到了18世纪法国数学家别卓（Bēzout，1779年）的著作中才有系统的叙述，后又经英国数学家西勒维思特（Sylvester，1840年）和凯雷（A·cayley，1852年）等人的工作，方才出现了完整的消去法理论，比我国元代晚400—500年。并且欧洲数学家们所建立起来的乃是着重讨论消去的可能性以及普遍的消去法理论，在解决具体的多元高次方程组方面，我国元代的消去法至今仍有一定的参考价值。