不等式的初中数学知识点总结
不等式
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地,用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)
“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式,或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数,字母也代表实数,不等式的一般形式为F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等号也可以为<,≥,> 中某一个),两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域,不等式既可以表达一个命题,也可以表示一个问题。
整式不等式
是不等式两边都是整式 ( 未知数不在分母上 )
一元一次不等式:含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式.如3-X>0
同理:二元一次不等式:含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式.
不等式的`最基本性质
①如果x>y,那么yy;(对称性)
②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则)
④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz
⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z
⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)
⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)[1]
如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,以上是其中比较有名的。
解不等式的原理
主要的有:
①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)
③如果不等式F(x)0,那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。
注意事项
1.符号:
不等式两边都乘以或除以一个负数,要改变不等号的方向。
2.确定解集:
比两个值都大,就比大的还大;
比两个值都小,就比小的还小;
比大的大,比小的小,无解;
比小的大,比大的小,有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组,可以类推。
3.另外,也可以在数轴上确定解集:
把每个不等式的解集在数轴上表示出来,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。
4.不等式两边相加或相减,同一个数或式子,不等号的方向不变。(移项要变号)
5.不等式两边相乘或相除,同一个正数,不等号的方向不变。(相当系数化1,这是得正数才能使用)
知识要领总结:不等式两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变。(÷或×1个负数的时候要变号)。
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