高一数学《两角和与差的正切》教学案例
【学习导航】
1. 掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2. 通过公式的推导,了解它们的内在联系,培养逻辑推理能力。
3.能正确运用三角公式,进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点:
学习重点
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
学习难点
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1.两角和与差的正、余弦公式
(a+b)公式的推导
∵cos (a+b)0
tan(a+b)=
当cosacosb0时, 分子分母同时除以cosacosb得:
以-b代b得:
其中 都不等于
3. 注意:
1°必须在定义域范围内使用上述公式 tana,tanb,tan(a±b)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能用诱导公式.
2°注意公式的结构,尤其是符号.
4.请大家自行推导出cot(a±b)的'公式—用cota,cotb表示
当sinasinb0时,cot(a+b)=
同理,得:cot(a-b)=
【精典范例】
例1已知tan?= ,tan?=?2 求cot(???),并求?+?的值,其中0?<?<90?, 90?<?<180? .
【解】
例2 求下列各式的值:
(1)
(2)tan17?+tan28?+tan17?tan28?
(3)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°
【解】
点评:可在△ABC中证明
例3 已知 求证tan?=3tan(?+?).
【证】
例4已知tan?和 是方程 的两个根,证明:p?q+1=0.
【证】
例5已知tan?= ,tan(??)= (tan?tan?+m),又?,?都是钝角,求?+?的值.
【解】
思维点拔:
两角和与差的正弦及余弦公式, 解题时要多观察,勤思考,善于联想,由例及类归纳解题方法,如适当进行角的变换,灵活应用基本公式,特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能.
【追踪训练一】
1.若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cos(A+B)的值为( )
2.在△ABC中,若0
△ABC一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
3.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3 ,tan2B=tanAtanC,则∠B等于 .
4. = .
5.已知 .
6.已知
(1)求 ;
(2)求 的值(其中 ).
【选修延伸】
例6已知A、B为锐角,证明 的充要条件是(1+tanA)(1+tanB)=2.
【证】
思维点拔:
可类似地证明以下命题:
(1)若α+β= ,
则(1-tanα)(1-tanβ)=2;
(2)若α+β= ,
则(1+tanα)(1+tanβ)=2;
(3)若α+β= ,
则(1-tanα)(1-tanβ)=2.
【追踪训练二】
67°30′-tan22°30′等于( )
A.1 B. C.2 D.4
17°tan43°+tan17°tan30°+tan30°tan43°的值为( B )
A.-1 B.1 C. D.-
3.(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)… (1+tan44°)(1+tan45°)= .
4. =
5.已知3sinβ=sin(2α+β)且tanα=1,则tan(α+β)=
6.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ且α,β∈
(- ),求sin2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+2cos2(α+β)的值.
7.已知函数 的图象与 轴交点为 ,
求证:
学生质疑
教师释疑
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