《函数的对称性》高一数学知识点总结

　　一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数 = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,)是 = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－）也在 = f (x)图像上，∴ 2b－ = f (2a－x)

即 + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,0)是 = f (x)图像上任一点，则0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，2b－0）也在 = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

推论：函数 = f (x)的图像关于轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数 = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则 = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

②若函数 = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则 = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

③若函数 = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则 = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的`证明：

∵函数 = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数 = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故 = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

　二、 不同函数对称性的探究

定理4. 函数 = f (x)与 = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数 = f (x)与 = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数 = f (x)与a－x = f (a－)的图像关于直线x + = a成轴对称。

③函数 = f (x)与x－a = f ( + a)的图像关于直线x－ = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,0)是 = f (x)图像上任一点，则0 = f (x0)。记点P( x ,)关于直线x－ = a的轴对称点为P'（x1， 1），则x1 = a + 0 , 1 = x0－a ，∴x0 = a + 1 , 0= x1－a 代入0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + 1) ∴点P'（x1， 1）在函数x－a = f ( + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f ( + a)的图像上任一点关于直线x－ = a的轴对称点也在函数 = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数 = f (x)的图像与x = f ()的图像关于直线x = 成轴对称。

　三、 三角函数图像的对称性列表

注：①上表中∈Z

② = tan x的所有对称中心坐标应该是(π/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为 = tan x的所有对称中心坐标是( π, 0 )，这明显是错的。

　四、 函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数 = f (x)、 = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线 = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。

解：∵ = f(x－1)和 = g-1(x－2)函数的图像关于直线 = x对称，

∴ = g-1(x－2) 反函数是 = f(x－1)，而 = g-1(x－2)的反函数是: = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是 = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是 = f (x) 对称轴。故 = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4.函数 = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

解：函数 = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = +

∴x = － ,显然取 = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）

(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

解：∵ = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是 = f (x) 对称轴，故 = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)