二次根式的知识点总结
知识点一: 二次根式的概念
形如a(a0)的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以a0是a为二次根式的前提条件,如5,(x2+1),
(x-1) (x1)等是二次根式,而(-2),(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二:取值范围
1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a0时a有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a?0时,a没有意义。
知识点三:二次根式a(a0)的非负性
a(a0)表示a的算术平方根,也就是说,a(a0)是一个非负数,即
0(a0)。
注:因为二次根式a表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数(a0)的`算术平方根是非负数,即0(a0),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若a+b=0,则a=0,b=0;若a+|b|=0,则a=0,b=0;若a+b2=0,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式(a) 的性质
(a)2=a(a0)
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若a0,则a=(a)2,如:2=(2)2,1/2=(1/2)2.
知识点五:二次根式的性质
a2=|a|
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简a2时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即a2=|a|=a (a若a是负数,则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a (a?0);
2、a2中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,a2一定有意义;
3、化简a2时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:(a)2与a2的异同点
1、不同点:(a)2与a2表示的意义是不同的,(a)2表示一个非负数a的算术平方根的平方,而a2表示一个实数a的平方的算术平方根;在(a)2中,而a2中a可以是正实数,0,负实数。但(a)2与a2都是非负数,即(a)20,a20。因而它的运算的结果是有差别的,(a)2=a(a0) ,而a2=|a|。
2、相同点:当被开方数都是非负数,即a0时,
(a)2=a?0时,(a)2无意义,而a2=|a|=-a.
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