二次函数知识点总结
二次函数及其图像
二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式
y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a);
顶点式
y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线];
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的'开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)
求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的二次函数
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法还有因式分解法和配方法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有1本身图像,旁边注明函数。
2画出对称轴,并注明X=什么
3与X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
顶点
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,4ac-b^2;)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2;-4ac=0时,P在x轴上。
开口
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
抛物线与x轴交点个数
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在
{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①当x=1时y=abc
②当x=-1时y=a-bc
③当x=2时y=4a2bc
④当x=-2时y=4a-2bc
-
初高中化学知识点总结
总结就是对一个时期的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的回顾和分析的书面材料,它是增长才干的一种好办法,为此要我们写一份总结。总结怎么写才不会流于形式呢?下面是小编精心整理的初高中化学知识点总结,仅供参考,大家一起来看看吧。初高中化学知识点总结1...
-
化学年度工作总结个人
总结是对过去一定时期的工作、学习或思想情况进行回顾、分析,并做出客观评价的书面材料,写总结有利于我们学习和工作能力的提高,因此我们需要回头归纳,写一份总结了。我们该怎么写总结呢?以下是小编帮大家整理的化学年度工作总结个人,仅供参考,大家一起来看看吧。化学...
-
个人年终工作总结最新优秀[4篇]
总结是在一段时间内对学习和工作生活等表现加以总结和概括的一种书面材料,它能使我们及时找出错误并改正,快快来写一份总结吧。那么总结应该包括什么内容呢?下面是小编为大家收集的个人年终工作总结最新,仅供参考,欢迎大家阅读。个人年终工作总结最新1光阴荏苒,在忙...
-
收银员个人年终工作总结大全
总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料,它可以使我们更有效率,因此我们要做好归纳,写好总结。那么你知道总结如何写吗?下面是小编精心整理的收银员个人年终工作总结大全,希望能够帮助到大家。收银员个人年终工作总结大全1有时...