《函数的单调性》教学案例
课题:§1.3.1
教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.
教学重点:函数的单调性及其几何意义.
教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的`单调性.
教学过程:
一、引入课题
通过最近比较热门话题的股票作为引题,用上证指数随时间的“跌”、“涨”以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进,形象刻画本课的要讲授的概念:函数的单调性以及最大最小值。
师:函数的性质的应用就在我们的生活中,我们的周边,如一天气温随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。
1. 画出下列函数的图象,观察其变化规律:
1)f(x) = x
1 从左至右图象上升还是下降 ______?
2 在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .
2)f(x) = -2x+1
1 从左至右图象上升还是下降 ______?
2 在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .
3)f(x) = x2
1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .
2在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .
问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像,描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度加以认识;然后,结合图、表,用自然语言描述,即y随x的增大而增大(或减小);最后,用数学符号语言描述变化规律,逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象,由特殊到一般,由远及近,一步一步地促使学生形成概念。
问题1: 列表描点,画函数f(x)=x2的图像。
意图:列表描点(自变量取值总是从小到大的选取,这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的,这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论,函数在某区间上递增是指从左到右的问题),通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时,对应的函数值的大小变化规律。
说明:教师可以按照p37来excel画图。
问题2: 利用画出的图像,请描述函数值增减变化特征。
从函数图像及上述表格可以看出(这并不困难):图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间 上,随着x的增大,相应的f(x)反而减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间 上,随着x的增大,相应的f(x)也随着增大。
意图:几何直观,引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像,体验自变量从小到大变化时,函数值大小变化在图形上的表现。
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