双曲线方程的知识点总结
双曲线方程
1. 双曲线的第一定义:
⑴①双曲线标准方程:
. 一般方程:
⑵①i. 焦点在x轴上:
顶点:
焦点:
准线方程
渐近线方程:
或
ii. 焦点在
轴上:顶点:
. 焦点:
. 准线方程:
. 渐近线方程:
或
,参数方程:
或
②轴
为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率
. ④准线距
(两准线的距离);通径
. ⑤参数关系
. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
“长加短减”原则:
构成满足
(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线:双曲线
称为等轴双曲线,其渐近线方程为
,离心率
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.
与
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
⑸共渐近线的双曲线系方程:
的渐近线方程为
如果双曲线的渐近线为
时,它的双曲线方程可设为
例如:若双曲线一条渐近线为
且过
,求双曲线的方程?
解:令双曲线的方程为:
,代入
得
⑹直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;
区域③:2条切线,2条与渐近线平行的`直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入
法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线
,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m?n.
简证:
常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
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