必修数学求数列通项公式知识点总结
等差数列
对于一个数列{a n },如果任意相邻两项之差为一个常数,那么该数列为等差数列,且称这一定值差为公差,记为 d ;从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和,记为 S n 。
那么 , 通项公式为,其求法很重要,利用了“叠加原理”的思想:
将以上 n-1 个式子相加, 便会接连消去很多相关的项 ,最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。
此外, 数列前 n 项的和,其具体推导方式较简单,可用以上类似的叠加的方法,也可以采取迭代的方法,在此,不再复述。
值得说明的是,,也即,前n项的和Sn 除以 n 后,便得到一个以a 1 为首项,以 d /2 为公差的`新数列,利用这一特点可以使很多涉及Sn 的数列问题迎刃而解。
等比数列
对于一个数列 {a n },如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数,那么该数列为等比数列,且称这一定值商为公比 q ;从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和,记为 T n 。
那么, 通项公式为(即a1 乘以q 的 (n-1)次方,其推导为“连乘原理”的思想:
a 2 = a 1 *q,
a 3 = a 2 *q,
a 4 = a 3 *q,
````````
a n = a n-1 *q,
将以上(n-1)项相乘,左右消去相应项后,左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积,也即得到了所述通项公式。
此外, 当q=1时 该数列的前n项和 Tn=a1*n
当q≠1时 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).
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