等差数列知识点总结
等差数列是高中数学必考的重点内容,以下是小编收集的相关信息,仅供大家阅读参考!
一、等差数列的有关概念
1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
2.等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=(a+b)/2,其中A叫做a,b的等差中项.
二、等差数列的'有关公式
1.通项公式:an=a1+(n-1)d.
2.前n项和公式:Sn=na1+n(n-1)/2d+d=(a1+an)n/2.
三、等差数列的性质
1.若,n,p,q∈N*,且+n=p+q,{an}为等差数列,则a+an=ap+aq.
2.在等差数列{an}中,a,a2,a3,a4,…仍为等差数列,公差为d.
3.若{an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列,公差为n2d.
4.等差数列的增减性:d>0时为递增数列,且当a1<0时前n项和Sn有最小值.d<0时为递减数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大值.
5.等差数列{an}的首项是a1,公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则A=d/2,B=a1-d/2,当d≠0时它表示二次函数,数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件.
四、解题方法
1.与前n项和有关的三类问题
(1)知三求二:已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想.
(2)Sn=d/2*n2+(a1-d/2)n=An2+Bnd=2A.
(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值.
2.设元与解题的技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;
若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
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