高中数学函数对称性和周期性小结

时光飞逝，伴随着比较紧凑又略显紧张的工作节奏，我们的工作又将告一段落了，这段时间里，一定有很多值得分享的经验吧，该好好写一份小结把这些都记录下来了。我们该怎么去写小结呢？下面是小编为大家收集的高中数学函数对称性和周期性小结，欢迎大家分享。

一、函数对称性：

.

f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称

f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称

f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称

例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.

例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.

二、函数的`周期性

令a,b均不为零，若：

1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|

2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|

3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|

4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|

5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|

这里只对第2~5点进行解析。

第2点解析：

令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

第3点解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

①f（x）=-f（x+a）……

②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函数最小正周期T=|2a|

第4点解析：

f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

∴函数最小正周期T=|2a|

第5点解析：

∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

∴1f（x）=2/[f（x）+1]移项得f（x）=12/[f（x+a）+1]

那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右边通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

∴函数最小正周期T=|4a|

扩展阅读：函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

（一）同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）

1、奇偶性：

（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f（x）f（x）0

（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f（x）f（x）

2、奇偶性的拓展：同一函数的对称性

（1）函数的轴对称：

函数yf（x）关于xa对称f（ax）f（ax）

f（ax）f（ax）也可以写成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

若写成：f（ax）f（bx），则函数yf（x）关于直线x称

（ax）（bx）ab对22证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，通过f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

即点（2ax1,y1）也在yf（x）上，而点（x1,y1）与点（2ax1,y1）关于x=a对称。得证。

说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。

∵（ax1,y1）与（ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

f（ax）f（ax）

∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

f（x）f（2ax）

∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

f（x）f（2ax）

（2）函数的点对称：

函数yf（x）关于点（a,b）对称f（ax）f（ax）2b

上述关系也可以写成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

若写成：f（ax）f（bx）c，函数yf（x）关于点（abc,）对称2证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通过f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以点（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而点（2ax1,2by1）与（x1,y1）关于（a,b）对称。得证。

说明：关于点（a,b）对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如（ax）与（ax）之和为2a。

（3）函数yf（x）关于点yb对称：假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c（x,y）=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c（x,y）x2y240它会关于y=0对称。

（4）复合函数的奇偶性的性质定理：

性质1、复数函数y＝f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]。复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

性质2、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

性质3、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则y＝f（x）关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则y＝f（x）关于点（a,0）中心对称。

总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

总结：x的系数一个为1，一个为-1，f（x）整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

总结：x的系数同为为1，具有周期性。

（二）两个函数的图象对称性

1、yf（x）与yf（x）关于X轴对称。

证明：设yf（x）上任一点为（x1,y1）则y1f（x1），所以yf（x）经过点（x1,y1）

∵（x1,y1）与（x1,y1）关于X轴对称，∴y1f（x1）与yf（x）关于X轴对称.注：换种说法：yf（x）与yg（x）f（x）若满足f（x）g（x），即它们关于y0对称。